Question

5．某研究機構對中學生記憶能力x和識圖能力y進行統計分析，得到如下數據：

記憶能力x	4	6	8	10
識圖能力y	3	﹡﹡﹡	6	8

由于某些原因，識圖能力的一個數據丟失，但已知識圖能力樣本平均值是5.5．
（Ⅰ）求丟失的數據；
（Ⅱ）經過分析，知道記憶能力x和識圖能力y之間具有線性相關關系，請用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（III）若某一學生記憶能力值為12，請你預測他的識圖能力值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設丟失的數據為m，依題意得$\frac{3+m+6+8}{4}=5.5$，即可求丟失的數據；
（Ⅱ）用最小二乘法求出回歸系數，即可求出y關于x的線性回歸方程$\widehaty=\widehatbx+\widehata$；
（III） 由（Ⅱ）得，當x=12時，$\hat y=0.8×12-0.1=9.5$，即可預測他的識圖能力值．

解答 解：（Ⅰ）設丟失的數據為m，依題意得$\frac{3+m+6+8}{4}=5.5$，解得m=5，
即丟失的數據值是5．（2分）
（Ⅱ）由表中的數據得：$\overline{x}=\frac{4+6+8+10}{4}=7$，$\overline{y}=5.5$，（4分）$\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}=4×3+6×5+8×6+10×8=170$，（5分）$\sum_{i=1}^4{x_i^2}={4^2}+{6^2}+{8^2}+{10^2}=216$．（6分）$\hat b=\frac{{\sum_{i=1}^4{{x_i}{y_i}}-4\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^4{x_i^2-4{{\bar x}^2}}}}=\frac{170-4×7×5.5}{{216-4×{7^2}}}=\frac{4}{5}=0.8$，（8分）$\hat a=\bar y-\hat b\overline{x}=5.5-0.8×7=-0.1$，（9分）
所以所求線性回歸方程為$\hat y=0.8x-0.1$．（10分）
（Ⅲ） 由（Ⅱ）得，當x=12時，$\hat y=0.8×12-0.1=9.5$（11分）
即記憶能力值為12，預測他的識圖能力值是9.5．                       （12分）

點評 本題考查線性回歸方程，解題的關鍵是理解并掌握求回歸直線方程中參數a，b的值的方法，及求解的步驟．