Question

14．已知直線l_k：y=kx+k²（k∈R），下列說法中正確的是①③④．（注：把你認為所有正確選項的序號均填上）
①l_k與拋物線$y=-\frac{x^2}{4}$均相切；      
②l_k與圓x²+（y+1）²=1均無交點；
③存在直線l，使得l與l_k均不相交；   
④對任意的i，j∈R，直線l_i，l_j相交．

Answer 1

分析 根據(jù)已知中直線l_k：y=kx+k²（k∈R），逐一分析四個結論的真假，可得答案．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}y=-\frac{{x}^{2}}{4}\\{y=kx+k}^{2}\end{array}\right.$得：$\frac{{x}^{2}}{4}+kx+{k}^{2}=0$，
由△=0恒成立，可得方程組恒有一解，
即l_k與拋物線$y=-\frac{x^2}{4}$均相切，故①正確；
圓x²+（y+1）²=1的圓心（0，-1）到直線l_k：y=kx+k²的距離d=$\frac{1+{k}^{2}}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{1+{k}^{2}}$≥1恒成立，
當且僅當k=0時，l_k與圓x²+（y+1）²=1相切，故②錯誤；
存在直線l：y=x+1，y=-x+1，y=0，與直線l_k：y=kx+k²（k∈R）均不相交，故③正確；
對任意的i，j∈R，直線l_i，l_j的斜率不相等，兩直線必相交，故④正確；
故答案為：①③④

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了直線與直線的位置關系，直線與圓的位置關系等知識點，難度中檔．