Question

10．已知點A是拋物線C：x²=2px（p＞0）上一點，O為坐標原點，若A，B是以點M（0，10）為圓心，|OA|的長為半徑的圓與拋物線C的兩個公共點，且△ABO為等邊三角形，則p的值是$\frac{5}{6}$．

Answer 1

分析 由題意，|MA|=|OA|，可得A的縱坐標為5，利用△ABO為等邊三角形，求出A的橫坐標，根據點A是拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點，即可求出p的值．

解答 解：由題意，|MA|=|OA|，∴A的縱坐標為5，
∵△ABO為等邊三角形，
∴A的橫坐標為$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∵點A是拋物線C：x²=2py（p＞0）上一點，
∴$\frac{25}{3}$=2p×5
∴p=$\frac{5}{6}$，
故答案為：$\frac{5}{6}$

點評 本題考查拋物線的方程，考查拋物線與圓的綜合，考查學生的計算能力，比較基礎．