Question

19．已知F₁、F₂是雙曲線M：$\frac{y^2}{4}$-$\frac{x^2}{m^2}$=1的焦點，y=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x是雙曲線M的一條漸近線，離心率等于$\frac{3}{4}$的橢圓E與雙曲線M有相同的焦點：
（1）求m的值與橢圓E的標準方程；
（2）若過點（1，0）且傾斜角為60^°的直線與橢圓E交于A、B兩點，求AB的長度．

Answer 1

分析 （1）利用F₁、F₂是雙曲線M：$\frac{y^2}{4}$-$\frac{x^2}{m^2}$=1的焦點，y=$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$x是雙曲線M的一條漸近線，離心率等于$\frac{3}{4}$的橢圓E與雙曲線M的焦點相同，由漸近線方程求得m的值，橢圓的c，由離心率求得a，進而得到b，可得橢圓方程；
（2）求出直線方程，代入橢圓方程，消去y，可得x的二次方程，運用韋達定理和弦長公式，即可得到所求．

解答 解：（1）雙曲線M：$\frac{y^2}{4}$-$\frac{x^2}{m^2}$=1的漸近線方程為y=±$\frac{2}{m}$x，
由題意，$\frac{2}{|m|}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，∴m=±$\sqrt{5}$，
∴雙曲線M：$\frac{{y}^{2}}{4}$-$\frac{{x}^{2}}{5}$=1，
∴F₁（0，-3），F₂（0，3），
∵離心率等于$\frac{3}{4}$的橢圓E與雙曲線M的焦點相同，
∴c=3，a=4，b=$\sqrt{7}$，
則橢圓E的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{7}$=1；
（2）過點（1，0）且傾斜角為60^°的直線方程為y-0=$\sqrt{3}$（x-1），
即y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$，
代入橢圓方程$\frac{{y}^{2}}{16}$+$\frac{{x}^{2}}{7}$=1，
消去y，可得37x²-42x-91=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
可得x₁+x₂=$\frac{42}{37}$，x₁x₂=-$\frac{91}{37}$，
則|AB|=$\sqrt{1+3}$•$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$
=2$\sqrt{（\frac{42}{37}）^{2}+\frac{4×91}{37}}$=$\frac{16}{37}$$\sqrt{238}$．

點評 本題考查橢圓、雙曲線的方程和性質，考查漸近線方程和離心率公式的運用，考查直線與橢圓方程聯立，運用韋達定理和弦長公式，考查學生的計算能力，屬于中檔題．