Question

19．甲、乙兩學校各派出3名隊員，按事先排好的順序出場參加圍棋擂臺賽，雙方先由1號隊員進行第一局比賽，負者被淘汰，勝者再與負方2號隊員進行第二局比賽，…，直到一方隊員全被淘汰為止，已知甲隊的1號與乙隊的1、2、3號隊員比賽獲勝的概率分別為$\frac{3}{4}$、$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$，甲隊的2號與乙隊的1、2、3號隊員比賽獲勝的概率分別為$\frac{2}{3}$、$\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}$
（1）在所有的比賽過程中，甲隊的1號、2號隊員都只參加一局比賽的概率；
（2）在所有的比賽過程中，將甲隊1號、2號隊員一共參加了的比賽的局數作為隨機變量ξ，求ξ的分布列與期望．

Answer 1

分析 （1）利用相互獨立事件的概率計算公式計算甲隊1，2號隊員都輸給乙隊1號隊員的概率；
（2）根據相互獨立事件的概率乘法公式計算ξ分別取2，3，4的概率，得出分布列，再計算數學期望．

解答 解：（1）若甲隊的1號、2號隊員都只參加一局比賽，則甲隊的1，2號隊員均輸給乙隊的1號隊員，
∴P=（1-$\frac{3}{4}$）（1-$\frac{2}{3}$）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$．
（2）ξ可能的取值為2，3，4．
P（ξ=2）=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}$=$\frac{1}{12}$；
P（ξ=3）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$；
P（ξ=4）=$\frac{3}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{3}{4}×\frac{1}{3}×\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}×\frac{2}{3}×\frac{1}{2}$=$\frac{11}{24}$．
∴ξ的分布列為：

ξ	2	3	4
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{11}{24}$	$\frac{11}{24}$

∴E（ξ）=2×$\frac{1}{12}$+3×$\frac{11}{24}$+4×$\frac{11}{24}$=$\frac{27}{8}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列，屬于中檔題．