Question

4．中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F₁，F₂，且|F₁F₂|=2$\sqrt{13}$，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3：7，則雙曲線方程為（　　）

• A． $\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{9}=1$
• C． $\frac{y^2}{9}-\frac{x^2}{4}=1$
• D． $\frac{y^2}{4}-\frac{x^2}{9}=1$

Answer 1

分析 根據半焦距c=$\sqrt{13}$，設橢圓長半軸為a，則雙曲線實半軸a-4，由離心率之比求出a，進而求出雙曲線的實半軸長，由隱含條件求得虛半軸的長，則雙曲線的標準方程可求．

解答 解：由題意知，半焦距c=$\sqrt{13}$，
設橢圓長半軸為a，則雙曲線實半軸a-4，
離心率之比為$\frac{3}{7}$=$\frac{\frac{\sqrt{13}}{a}}{\frac{\sqrt{13}}{a-4}}$，解得a=7，
∴雙曲線的實半軸長為7-4=3，虛半軸的長為$\sqrt{（\sqrt{13}）^{2}-{3}^{2}}=2$，
則雙曲線方程為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故選：A．

點評 本題主要考查橢圓、雙曲線的標準方程和幾何性質，考查計算能力，是中檔題．