Question

19．已知函數(shù)f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；
（2）當(dāng)x＞1且a≥$\frac{1}{2}$時(shí)，證明：f（x）＜0．

Answer 1

分析 （1）代入a值，求導(dǎo)，利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求出f（x）的表達(dá)式，利用構(gòu)造函數(shù)g（x），利用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性證明結(jié)論．

解答 解析：（Ⅰ）a=0時(shí)，f′（x）=1+lnx-1=0，x=1，
當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0．
故f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，1），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，+∞），
f（x）在x=1處取得極小值f（1）=0，無(wú)極大值．（6分）
（Ⅱ）f′（x）=lnx-2a（x-1），設(shè)g（x）=lnx-2a（x-1），則g′（x）=$\frac{1}{x}$-2a＜0，
∴g（x）＜g（1）=0，
∴f′（x）＜0，
∴f（x）＜f（1）=0．
∴f（x）＜0．（12分）

點(diǎn)評(píng) 考查了導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，和構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)證明結(jié)論．