Question

14．設函數f（x）=ax²+bx+b-1（a≠0）．
（1）當a=1，b=-2時，求函數f（x）的零點；
（2）若對任意b∈R，函數f（x）恒有兩個不同零點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二次方程，真假求解即可．
（2）利用二次函數的零點，通過判別式，得到不等式，然后推出b的二次不等式，轉化求解即可．

解答 解　（1）當a=1，b=-2時，f（x）=x²-2x-3，
令f（x）=0，得x=3或x=-1．
∴函數f（x）的零點為3和-1．
（2）依題意，f（x）=ax²+bx+b-1=0有兩個不同實根．
∴b²-4a（b-1）＞0恒成立，
即對于任意b∈R，b²-4ab+4a＞0恒成立，
所以有（-4a）²-4（4a）＜0⇒a²-a＜0，所以0＜a＜1．
因此實數a的取值范圍是（0，1）．

點評 本題考查函數的恒成立，二次函數的性質的應用，考查計算能力．