Question

1．已知某幾何體的三視圖如圖所示，則這個幾何體體積2$\sqrt{3}$．這個幾何體外接球的表面積等于$\frac{28}{3}π$．

Answer 1

分析 由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱長是2，可得幾何體體積；根據三棱柱的兩個底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，求出球的半徑，即可求解球的表面積．

解答 解：由三視圖知，幾何體是一個三棱柱，
三棱柱的底面是邊長為2的正三角形，側棱長是2，
幾何體體積V=$\frac{\sqrt{3}}{4}×{2}^{2}×2$=2$\sqrt{3}$
三棱柱的兩個底面中心連線的中點就是三棱柱的外接球的球心，如圖
底面是正三角形，AD=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，OD=1．
r=AO=$\sqrt{\frac{4}{3}+1}$=$\sqrt{\frac{7}{3}}$，
所以該幾何體外接球的表面積為：4πr²=$\frac{28}{3}π$．
故答案為$2\sqrt{3}$，$\frac{28}{3}π$．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的表面積，本題是一個中檔題，題目中包含的三視圖比較簡單，求出幾何體的外接球的半徑是解題的關鍵．