Question

6．已知數列{a_n}是一個等差數列，且a₂=-1，a₅=5．
（1）求{a_n}的通項a_n；       
（2）若b_n=a_n+2ⁿ，求{b_n}前n項和S_n．

Answer 1

分析 （1）由a₅-a₂=3d=6，求得d=2，a₂=a₁+d=-1，a₁=-3，由等差數列通項公式則a_n=2n-5；
（2）b_n=a_n+2ⁿ=（2n-5）+2ⁿ，采用分組求和，根據等比數列及等差數列前n項和公式，即可求得{b_n}前n項和S_n．

解答 解：（1）等差數列{a_n}公差為d，a₅-a₂=3d=6，即d=2．
a₂=a₁+d=-1，
解得：a₁=-3，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n-5，
數列{a_n}的通項a_n，a_n=2n-5；
（2）由b_n=a_n+2ⁿ=（2n-5）+2ⁿ，
則{b_n}前n項和S_n，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=-3+2+（-1）+2²+1+2³+…+（2n-5）+2ⁿ，
=[-3+（-1）+1+…+（2n-5）]+2+2²+2³+…+2ⁿ，
=$\frac{（-3+2n+5）n}{2}$+$\frac{2（1-{2}^{n}）}{1-2}$，
=n²-4n+2ⁿ⁺¹-2，
{b_n}前n項和S_n，S_n=n²-4n+2ⁿ⁺¹-2．

點評 本題考查等差數列的通項公式，等差數列及等比數列前n項和公式的求法，考查分組求和，考查計算能力，屬于中檔題．