Question

12．已知m∈R，$\overrightarrow{a}$=（-1，x²+m），$\overrightarrow{b}$=（m+1，$\frac{1}{x}$），
（1）$\overrightarrow{c}$=（-m，$\frac{x}{x+m}$），當m=-1時，求使不等式|$\overrightarrow a$•$\overrightarrow c$|≤1成立的x的取值范圍；
（2）求使不等式$\overrightarrow a•\overrightarrow b$≥0成立的x的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）m=-1時，可求出$\overrightarrow{a}=（-1，{x}^{2}-1），\overrightarrow{c}=（1，\frac{x}{x-1}）$，進而求出數量積$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}$，從而得到不等式|x²+x-1|≤1，解該不等式即可得出x的取值范圍；
（2）進行數量積的坐標運算可得出不等式$\frac{（x-1）（x-m）}{x}≥0$，討論m的值，解該分式不等式即可得出x的取值范圍．

解答 解：（1）當m=-1時，$\overrightarrow{a}=（-1，{x}^{2}-1），\overrightarrow{c}=（1，\frac{x}{x-1}）$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}=-1+x（x+1）={x}^{2}+x-1$；
∴由$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}|≤1$得：|x²+x-1|≤1；
∴-1≤x²+x-1≤1；
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+x≥0}\\{{x}^{2}+x-2≤0}\\{x≠1}\end{array}\right.$；
解得-2≤x≤-1，或0≤x＜1；
∴當m=-1時，使不等式$|\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}|≤1$成立的x的取值范圍是[-2，-1]∪[0，1）；
（2）∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-（m+1）+\frac{{x}^{2}+m}{x}$=$\frac{{x}^{2}-（m+1）x+m}{x}=\frac{（x-1）（x-m）}{x}$≥0①；
∴當m＜0時，不等式①的解集為：[m，0）∪[1，+∞）；
當m=0時，解集為：[1，+∞）；
當0＜m＜1時，解集為：（0，m]∪[1，+∞）；
當m=1時，解集為：[1，+∞）；
當m＞1時，解集為：（0，1]∪[m，+∞）．

點評 考查數量積的坐標運算，含絕對值不等式的解法，一元二次不等式的解法，以及分式不等式的解法．