Question

已知函數(shù)（、為常數(shù)），在時取得極值.

（1）求實數(shù)的值；

（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值；

（3）當(dāng)時，試比較與的大小并證明.

 

Answer 1

（1）；（2）取最小值；（3）．

【解析】

試題分析：（1）因為函數(shù) （、為常數(shù)），在時取得極值，故，因此，先對函數(shù)求導(dǎo)得，，由可得實數(shù)的值；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的最小值，當(dāng)時，由得，代入得 ，對求導(dǎo)，判斷單調(diào)性，即可得函數(shù)的最小值；（3）比較與的大小，直接比較不好比較，可比較對數(shù)的大小即與，兩式作差得，只需判斷它的符號，即判斷的符號，即判斷的符號，可構(gòu)造函數(shù)，證明即可．

試題解析：（1）

∴ （3分）

（2）時

，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 （6分）

∴當(dāng)時，取最小值 （8分）

（3）令

，∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增 ，∴ 當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值

∵ ∴

∴ ∴

∴ ∴ （14分）

考點：函數(shù)的極值，函數(shù)的最值，比較大小，函數(shù)的單調(diào)性．