Question

4．已知函數f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點．
（1）求a的取值范圍．
（2）設f（x）的兩個極值點為x₁，x₂，證明x₁x₂＞e²．

Answer 1

分析 （1）由導數與極值的關系知可轉化為方程f′（x）=lnx-ax=0在（0，+∞）有兩個不同根；再轉化為函數y=lnx與函數y=ax的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點，或轉化為函數g（x）=$\frac{lnx}{x}$與函數y=-2a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點； 從而求解；
（2）要證明x₁x₂＞e²．只需證明lnx₁+lnx₂＞2
?-2a（x₁+x₂）＞2，?$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，即只需證明$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，則t＞1，只需證明$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$，
設g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$  （t＞1），根據函數的單調性證出結論即可

解答 解：（1）函數f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）的定義域為（0，+∞），f′（x）=lnx+2ax．
∵函數f（x）=xlnx+ax²-x+a（a∈R）在其定義域內有兩個不同的極值點．∴方程f′（x）=0在（0，+∞）有兩個不同根；
轉化為函數g（x）=$\frac{lnx}{x}$與函數y=-2a的圖象在（0，+∞）上有兩個不同交點．
又g′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$，即0＜x＜e時，g′（x）＞0，x＞e時，g′（x）＜0，
故g（x）在（0，e）上單調增，在（e，+∞）上單調減．故g（x）_極大=g（e）=$\frac{1}{e}$．
又g（x）有且只有一個零點是1，且在x→0時，g（x）→-∞，在在x→+∞時，g（x）→0，
故g（x）的草圖如右圖，
∴0$＜-2a＜\frac{1}{e}$，即-$\frac{1}{2e}＜a＜0$．故a的取值范圍為（-$\frac{1}{2e}，0$）．
（2）由（Ⅰ）可知x₁，x₂分別是方程lnx-ax=0的兩個根，
      即lnx₁=-2ax₁，lnx₂=-2ax₂，
設x₁＞x₂，作差得$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=-2a（{x}_{1}-{x}_{2}）$．得-2a=$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$．
要證明x₁x₂＞e²．只需證明lnx₁+lnx₂＞2
?-2a（x₁+x₂）＞2，?$\frac{ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$（x₁+x₂）＞2，即只需證明$ln\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}＞\frac{2（{x}_{1}-{x}_{2}）}{{x}_{1}+{x}_{2}}$，
令$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}=t$，則t＞1，只需證明$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$，
設g（t）=lnt-$\frac{2（t-1）}{t+1}$  （t＞1），$g′（t）=\frac{（t-1）^{2}}{t（t+1）}＞0$．
∴函數g（t）在（1，+∞）上單調遞增，
∴g（t）＞g（1）=0，故$lnt＞\frac{2（t-1）}{t+1}$成立．
∴x₁x₂＞e²成立．

點評 題考查了導數的綜合應用及分類討論，轉化思想，數形結合的思想方法的應用，屬于難題．