Question

8．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱長均為2，A₁B=$\sqrt{6}$，A₁B⊥AC．
（Ⅰ）求證：A₁C₁⊥B₁C；
（Ⅱ）求直線AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取AC中點O，連結A₁O，BO，推導出BO⊥AC，A₁B⊥AC，從而AC⊥面A₁BO，連結AB₁，交A₁B于點M，連結OM，則B₁C∥OM，從而AC⊥OM，由A₁C₁∥AC，能證明A₁C₁⊥B₁C．
（Ⅱ）由A₁B⊥AB₁，A₁B⊥AC，得A₁B⊥面AB₁C，從而面AB₁C⊥面ABB₁A₁，推導出AC在平面ABB₁A₁的射影為AB₁，從而∠B₁AC為直線AC和平面ABB₁A₁所成的角，由此能求出直線AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值．

解答 證明：（Ⅰ）取AC中點O，連結A₁O，BO，
∵三棱柱ABC-A₁B₁C₁所有的棱長均為2，∴BO⊥AC，
∵A₁B⊥AC，A₁B∩BO=B，A₁B?面A₁BO，BO?面A₁BO，
∴AC⊥面A₁BO，
連結AB₁，交A₁B于點M，連結OM，則B₁C∥OM，
又∵OM?面A₁BO，∴AC⊥OM，
∵A₁C₁∥AC，A₁C₁⊥B₁C．
解：（Ⅱ）∵A₁B⊥AB₁，A₁B⊥AC，∴A₁B⊥面AB₁C，
∴面AB₁C⊥面ABB₁A₁，
∵面AB₁C∩面ABB₁A₁=AB₁，∴AC在平面ABB₁A₁的射影為AB₁，
∴∠B₁AC為直線AC和平面ABB₁A₁所成的角，
∵AB₁=2AM=2$\sqrt{A{B}^{2}-B{M}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∴在 Rt△ACB₁中，cos$∠{B}_{1}AC=\frac{AC}{A{B}_{1}}$=$\frac{2}{\sqrt{10}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$，
∴直線AC和平面ABB₁A₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點評 本題考查線線垂直的證明，考查線面角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查空間想象能力，考查化歸與轉化思想，是中檔題．