Question

13．已知P為拋物線y²=4x上一個動點，Q為圓x²+（y-4）²=1上一個動點，當點P到點Q的距離與點P到拋物線的準線距離之和最小時，P點的橫坐標為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{17}}{8}$
• B． $\frac{9-\sqrt{17}}{8}$
• C． $\frac{9}{8}$
• D． $\sqrt{17}$

Answer 1

分析 先根據拋物線方程求得焦點坐標，根據圓的方程求得圓心坐標，根據拋物線的定義可知P到準線的距離等于點P到焦點的距離，進而問題轉化為求點P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小值，求出直線FC的方程與拋物線方程聯立求解即可．

解答 解：拋物線y²=4x的焦點為F（1，0），圓x²+（y-4）²=1的圓心為C（0，4），
根據拋物線的定義可知點P到準線的距離等于點P到焦點的距離，
進而推斷出當P，Q，F三點共線時P到點Q的距離與點P到拋物線的焦點距離之和的最小，
此時直線FC的方程為：4x+y-4=0，
可得$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{4x+y-4=0}\end{array}\right.$，消去y，可得4x2-9x+4=0，解得x=$\frac{9-\sqrt{17}}{8}$，x=$\frac{9+\sqrt{17}}{8}$（舍去）
故選：B．

點評 本題主要考查了拋物線的應用．考查了學生轉化和化歸，數形結合等數學思想．