Question

4．設圓x²+y²+2$\sqrt{3}$x-13=0的圓心為A，直線l過點B（$\sqrt{3}$，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E．
（1）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；
（2）過點M（1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）做直線MA，MB分別與橢圓相交與A，B兩點，滿足直線MA與MB的傾斜角互補，判斷直線AB的斜率是否為定值，若為定值求出此定值，若不為定值說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據三角形相似得到$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BE}{AC}$，得到AE+DE=4，故EA+EB=4是定值，
（2）設出直線方程，聯立方程組，求出x₁+1=$\frac{{9k}^{2}-4\sqrt{3}k}{{4k}^{2}+1}$，x₂+1=$\frac{{9k}^{2}+4\sqrt{3}k}{{4k}^{2}+1}$，根據y₁-y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1），求出直線AB的斜率是定值即可．

解答 （1）證明：∵BE∥AC，∴△BDE∽△CAD，
∴$\frac{DE}{AD}$=$\frac{BE}{AC}$，∵AD=AC=4，∴DE=BE，∵AE+DE=4，
故|EA|+|EB|=4是定值，
由橢圓的定義得：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，（y≠0）；
（2）解：設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
直線MA的方程是y=k（x-1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
直線MB的方程是y=-k（x-1）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{4}{+y}^{2}=1}\\{y=k（x-1）+\frac{\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.$，消去y得：
（4k²+1）x²+（4$\sqrt{3}$k-8k²）x+4k²-4$\sqrt{3}$k-1=0，
x₁=1，x₂-1=-$\frac{4\sqrt{3}k+2}{{4k}^{2}+1}$，
故y₁-y₂=k（x₁-1）+k（x₂-1），
則直線AB的斜率K_AB=$\frac{{y}_{2}{-y}_{1}}{{{x}_{2}-x}_{1}}$=$\frac{-4k}{-9\sqrt{3}k}$=$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

點評 本題考查了直線方程、橢圓的方程問題，考查直線和橢圓的關系，屬于壓軸題．