Question

5．已知函數(shù)f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1-a，（a∈R）；
（1）若f（x）有零點，求實數(shù)a的取值范圍
（2）當f（x）有零點時，討論f（x）有零點的個數(shù)，并求出f（x）的零點．

Answer 1

分析 （1）換元，分離參數(shù)，利用配方法可得結(jié)論；
（2）結(jié)合（1），分類討論，即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）令（$\frac{1}{2}$）^x=t（t＞0），f（x）=（$\frac{1}{4}$）^x-（$\frac{1}{2}$）^x-1-a=0
可化為a=t²-2t=（t-1）²-1≥-1，
∴a≥-1，f（x）有零點；
（2）a≥0，函數(shù)有1個零點x=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1+\sqrt{1+a}）$；
a=-1時，函數(shù)有1個零點x=0，
-1＜a＜0時，函數(shù)有兩個零點x=$lo{g}_{\frac{1}{2}}（1±\sqrt{1+a}）$；
a＜-1時，函數(shù)沒有零點．

點評 本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．