Question

14．對于函數f（x） 若存在常數s，使得對定義域內的每一個x的值，都有f（x）=-f（2s-x），則稱f（x）為“和諧函數”，給出下列函數①f（x）=$\frac{1}{x+1}$  ②f（x）=（x-1）²  ③f（x）=x³+x²+1   ④f（x）=xcosx，其中所有“和諧函數”的序號是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ①④
• D． ①③④

Answer 1

分析 判斷對于函數f（x）為準奇函數的主要標準是：若存在常數s，使函數f（x）的圖象關于（s，0）對稱，則稱f（x）為準奇函數，由此逐一判斷四個函數得答案．

解答 解：對于函數f（x），若存在常數s，使得x取定義域內的每一個值，都有f（x）=-f（2s-x）知，
函數f（x）的圖象關于（s，0）對稱，
對于①，f（x）=$\frac{1}{x+1}$，函數f（x）的圖象關于（-1，0）對稱，函數為“和諧函數”；
對于②，f（x）=（x-1）²，函無對稱數中心，函數不是“和諧函數”；
對于③，f（x）=x³+x²+1，函數f（x）不關于（s，0）中心對稱圖形，函數不是“和諧函數”；
對于④，f（x）=cosx，函數f（x）的圖象關于（kπ+$\frac{π}{2}$，0）對稱，函數為“和諧函數”．
∴為“和諧函數”的是①④．
故選：C．

點評 本題考查新定義的理解和應用，函數f（x）的圖象關于（s，0）對稱，則稱f（x）為“和諧函數”是關鍵，是中檔題．