Question

4．設雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x，關于x的方程ax²+bx-$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=0的兩根為m，n，則點P（m，n）（　　）

• A． 在圓x²+y²=7內
• B． 在圓x²+y²=7上
• C． 在橢圓$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1內
• D． 在橢圓$\frac{{x}^{2}}{7}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1上

Answer 1

分析 根據題意以及根與系數的關系，求出a、b的關系以及m、n的和與積，即得點P（m，n）滿足的條件．

解答 解：∵雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的一條漸近線方程為y=$\sqrt{3}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\sqrt{3}$①；
又∵關于x的方程ax²+bx-$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$=0的兩根為m，n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m+n=-\frac{b}{a}}\\{mn=-\frac{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}{a}}\end{array}\right.$②；
由①②得，m²+n²=7，
∴點P（m，n）在圓x²+y²=7上．
故選：B．

點評 本題考查了雙曲線的幾何性質以及一元二次方程根與系數的關系的應用問題，也考查了求點的軌跡的問題，是綜合題．