Question

20．在y=3^x，y=log_0.3x，y=x³，y=$\sqrt{x}$，這四個函數中當0＜x₁＜x₂＜1時，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立的函數的個數是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 由題意，根據條件0＜x₁＜x₂＜1時，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立得出滿足條件的函數的性質，再對照四個函數的性質即可找出滿足條件的函數的個數．

解答 解：當0＜x₁＜x₂＜1時，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立，從圖象上看，是圖象上任意兩點的連線的中點的函數值在兩點的中點的函數值的曲線的上方．滿足這樣的函數稱作凹函數．
考查四個函數y=3^x，y=log_0.3x，y=x³，y=$\sqrt{x}$的圖象可得，y=$\sqrt{x}$在（0，1）符合任意兩點間的曲線在兩點間線段的上方，是凸函數；而y=2^x，y=x³，y=log_0.3x這3個函數都是凹函數，符合題意．
綜上分析知，滿足條件的函數有3個．
故選：C．

點評 本題考查函數單調性的性質，解答的關鍵是理解四個函數的性質及對題設中條件“當0＜x₁＜x₂＜1時，使f$（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）$＜$\frac{{f（{x_1}）+f（{x_2}）}}{2}$恒成立”的轉化，本題考查了轉化的思想，本題需要研究函數變化率的變化規律，有一定的難度．