Question

10．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F₂，橢圓的右頂點為A，點P在橢圓上，且PF₁⊥x軸，直線AP交y軸于點Q，若$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$，則橢圓的離心率等于（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{3}$

Answer 1

分析 由PF₁⊥x軸，求得P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），由$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$可知，（-a，t）=3（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$-t），即可求得a=3c，由離心率公式可知e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$．

解答 解：如圖，因為PF₁⊥x軸，A（a，0），
故x_P=c，y_P=$\frac{{b}^{2}}{a}$，即P（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$），
設Q（0，t）
∵$\overrightarrow{AQ}$=3$\overrightarrow{QP}$，
（-a，t）=3（-c，$\frac{{b}^{2}}{a}$-t），
a=3c，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{3}$
故選B．

點評 本題考查橢圓的標準方程，考查向量的坐標運算，考查數形結合思想，屬于基礎題．