Question

15．已知函數f（x）=$\frac{1}{x^2}$+alnx（a∈R）．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）已知不等式f（x）＞0在（0，1）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）分離參數a，令$g（x）=-\frac{1}{{{x^2}lnx}}\;，\;x∈（0，1）$，求出函數的導數，從而求出g（x）的最小值，得到a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域為$（0，+∞），f'（x）=\frac{{a{x^2}-2}}{x^3}$，
①當a≤0時，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
②$當a＞0時，f（x）在（0，\sqrt{\frac{2}{a}}）上單調遞減，在（\sqrt{\frac{2}{a}}，+∞）上單調遞增$．
（2）$f（x）＞0在（0，\;1）上恒成立?a＜-\frac{1}{{{x^2}lnx}}在（0，1）恒成立?a＜{（-\frac{1}{{{x^2}lnx}}）_{min}}$，
令$g（x）=-\frac{1}{{{x^2}lnx}}\;，\;x∈（0，1）$，
則$g'（x）=\frac{2lnx+1}{{{x^3}{{ln}^2}x}}$，
當$x∈（0，{e^{-\frac{1}{2}}}）時g'（x）＜0，當x∈（{e^{-\frac{1}{2}}}，1）時g'（x）＞0$，
所以，$g（x）在（0，{e^{-\frac{1}{2}}}）遞增，在（{e^{-\frac{1}{2}}}，1）遞減$，
所以，$g{（x）_{min}}=g（{e^{-\frac{1}{2}}}）=2e$．
因此，a＜2e．即實數a的取值范圍是（-∞，2e）．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及分類討論思想，是一道中檔題．