Question

10．已知函數(shù)f（x）的定義域為[-2，2]，若對于任意的x，y∈[-2，2]，都有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＞0時，有f（x）＞0
（1）證明：f（x）為奇函數(shù)；
（2）若f（1）=3求f（x）在[-2，2]上的值域．

Answer 1

分析 （I）令x=y=0，可得f（0）=0，再令y=-x，代入即可判斷出奇偶性．
（Ⅱ）f（x）在[-2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．利用奇偶性與單調(diào)性的定義及其當x＞0時，有f（x）＞0，即可證明．

解答 解：（Ⅰ）令x=y=0，∴f（0）=0，
令y=-x，∴f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x）．
故f（x）為奇函數(shù)．
（Ⅱ）f（x）在[-2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．下面給出證明：
任取-2≤x₁＜x₂≤2，∴x₂-x₁＞0，∴f（x₂-x₁）＞0，
∵f（x）在[-2，2]上的奇函數(shù)，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）=f（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₂）＞f（x₁），
∴f（x）在[-2，2]上為單調(diào)遞增函數(shù)．值域為[-6，6]

點評 本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性、不等式的解法、函數(shù)的值域，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．