Question

8．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=a₅-a₁．
（1）求數列{a_n}的公比q的值；
（2）記b_n=log₂a_n+1，數列{b_n}的前n項和為T_n，若T₄=2b₅，求數列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前9項和．

Answer 1

分析 （1）運用等比數列的通項公式，討論公比不為1，由求和公式，可得公比q的方程，解方程可得；
（2）由題意可得q取值為2，運用等比數列的通項公式和對數的運算性質，可得b_n，結合等差數列的通項公式和求和公式，可得b_n=n，再由$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，結合裂項相消求和，可得所求和．

解答 解：（1）由{a_n}是等比數列，則${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
由題知公比q≠1（否則與S₄=a₅-a₁矛盾），
則${S_4}=\frac{{{a_1}（{1-{q^4}}）}}{1-q}={a_1}{q^4}-{a_1}={a_1}（{{q^4}-1}）$，
所以$\frac{{（{1-{q^4}}）}}{1-q}-（{{q^4}-1}）=0$，則$（{1-{q^4}}）[{\frac{1}{1-q}+1}]=0$，
所以q⁴=1或$\frac{1}{1-q}=-1$，
解得q=-1或2；
（2）由題意可得q取值為2，
則${b_n}={log_2}（{{2^n}{a_1}}）={log_2}{a_1}+n$，
所以數列{b_n}是一個公差為1的等差數列，
由T₄=2b₅得T₄=4b₁+6=2（b₁+4），
解之得b₁=1，即b_n=n，
所以數列$\left\{{\frac{1}{{{b_n}{b_{n+1}}}}}\right\}$的前9項和H₉=$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+…+$\frac{1}{9×10}$
=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{9}$-$\frac{1}{10}$=1-$\frac{1}{10}$=$\frac{9}{10}$．

點評 本題考查等比數列的通項公式和求和公式的運用，注意運用方程思想，考查數列的求和，注意運用裂項相消求和，同時考查對數的運算性質，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．