Question

18．一個空間幾何體的三視圖（單位：cm）如圖所示，則該幾何體的表面積為30+6$\sqrt{5}$cm²．

Answer 1

分析 如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P-ABC，其中側面PBC⊥底面ABC，AB⊥BC，作PO⊥BC，垂足為O點，PO=4，CO=2，OB=3，AB=4．過點O作OE⊥AC交于點E，連接PE，則PE⊥AC．利用勾股定理可得PE．

解答 解：如圖所示，由三視圖可知：該幾何體為三棱錐P-ABC，其中側面PBC⊥底面ABC，AB⊥BC，作PO⊥BC，垂足為O點，PO=4，CO=2，OB=3，AB=4．過點O作OE⊥AC交于點E，連接PE，則PE⊥AC．
AC=$\sqrt{{5}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{41}$，OE=2×$\frac{4}{\sqrt{41}}$=$\frac{8}{\sqrt{41}}$．
∴PE=$\sqrt{{4}^{2}+\frac{64}{41}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{41}}$，
則該幾何體的表面積S=$\frac{1}{2}×5×4$×3+$\frac{1}{2}×\sqrt{41}×\frac{12\sqrt{5}}{\sqrt{41}}$=30+6$\sqrt{5}$．
故答案為：30+6$\sqrt{5}$．

點評 本題考查了三棱錐的三視圖、線面面面垂直的判定與性質定理、勾股定理、三角形面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．