Question

3．已知圓心在x軸正半軸上的圓C與直線5x+12y+21=0相切，與y軸交于M，N兩點，且∠MCN=120°．
（1）求圓C的標準方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與圓C交于不同的兩點A，B，若設點G為△MNG的重心，當△MNG的面積為$\sqrt{3}$時，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）可設圓C的方程為（x-a）²+y²=4a²，點C到直線5x+12y+21=0的距離為$d=\frac{|5a+21|}{13}=2a$，求出a，即可求圓C的標準方程；
（2）利用△MNG的面積為$\sqrt{3}$，得出|x_G|=1，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_G}=\frac{{{x_1}+{x_2}+0}}{3}$，即x₁+x₂=3x_G，直線方程與圓的方程聯立，即可得出結論．

解答 解：（1）由題意知圓心C（a，0），且a＞0，
由∠MCN=120°，知Rt△MCO中，∠MCO=60°，|OC|=a，則|CM|=2a，
于是可設圓C的方程為（x-a）²+y²=4a²…（2分）
又點C到直線5x+12y+21=0的距離為$d=\frac{|5a+21|}{13}=2a$，
所以a=1或$a=-\frac{21}{31}$（舍），
故圓C的方程為（x-1）²+y²=4．…（4分）
（2）△MNG的面積$S=\frac{1}{2}|MN||{x_G}|=\sqrt{3}|{x_G}|=\sqrt{3}$，所以|x_G|=1．
若設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x_G}=\frac{{{x_1}+{x_2}+0}}{3}$，即x₁+x₂=3x_G，…（6分）
當直線l斜率不存在時，△ABO不存在，
故可設直線l為y=kx+2，代入圓C的方程（x-1）²+y²=4中，
可得（1+k²）x²+（4k-2）x+1=0，…（8分）
則$\left\{\begin{array}{l}△＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{2-4k}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}k＜0或k＞\frac{4}{3}\\{x_1}+{x_2}=\frac{2-4k}{{1+{k^2}}}=±3\end{array}\right.$…（10分）
得k=-1或$k=-\frac{1}{3}$，
故滿足條件的直線l的方程為y=-x+2或$y=-\frac{1}{3}x+2$．…（12分）

點評 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關系，考查韋達定理的運用，屬于中檔題．