Question

13．已知函數f（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$，g（x）=-2ax+a+1，h（x）=f（x）+g（x）．
（Ⅰ）當a=-1時，證明：h（x）為奇函數；
（Ⅱ）若關于x的方程f（x）=log₃[g（x）]有兩個不等實數根，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （I）先求出h（x）的定義域是否對稱，再計算h（-x）并化簡，觀察h（-x）和h（x）的關系得出結論；
（II）根據f（x）=log₃[g（x）]得$\frac{x-1}{x+1}=-2ax+a+1$，化簡為2ax²+ax-a-2=0，討論a是否為0得出x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$=0，利用二次函數的性質得出a的范圍．

解答 解：（I）證明：a=-1時，h（x）=log₃$\frac{x-1}{x+1}$+2x，
由函數有意義得$\frac{x-1}{x+1}$＞0，解得x＜-1或x＞1．
∴h（x）的定義域為（-∞，-1）∪（1，+∞），關于原點對稱．
∵h（-x）=log₃$\frac{-x-1}{-x+1}$-2x=log₃$\frac{x+1}{x-1}$-2x=-h（x），
∴h（x）為奇函數．
（II）由f（x）=log₃g（x）可得$\frac{x-1}{x+1}=-2ax+a+1$，
化簡得，2ax²+ax-a-2=0，①
顯然，當a=0時，方程①無解，不符合題意；
∴a≠0，由①得2a（x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$）=0
令F（x）=x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$，則F（x）=x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{a}$-$\frac{1}{2}$在（-∞，-1）∪（1，+∞）內有兩個零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{F（-1）＜0}\\{F（1）＜0}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{a}＜0}\\{1-\frac{1}{a}＜0}\end{array}\right.$，解得0＜a＜1．
∴a的取值范圍是（0，1）．

點評 本題考查了函數奇偶性的判斷，函數零點的個數判斷與函數圖象的關系，二次函數的性質，屬于中檔題．