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15.已知函數$f(x)=\frac{ax+b}{{{x^2}+1}}$是定義在(-1,1)上是奇函數,且$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)判斷函數f(x)的單調性,并用定義證明.

分析 (1)根據函數的奇偶性求出b的值,根據$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$求出a的值,從而求出f(x)的解析式即可;(2)根據函數單調性的定義證明即可.

解答 解:(1)由題意可知f(-x)=-f(x),
∴$\frac{-ax+b}{{1+{x^2}}}=-\frac{ax+b}{{1+{x^2}}}$,∴b=0.…(3分)
∴$f(x)=\frac{ax}{{1+{x^2}}}$,∵$f(\frac{1}{2})=\frac{2}{5}$,∴a=1,
∴$f(x)=\frac{x}{{1+{x^2}}}$.…(6分)
(2)f(x)在(-1,1)上遞增,
證明如下:
設-1<x1<x2<1,
則:f(x1)-f(x2)=$\frac{{(x}_{1}{-x}_{2})(1{{-x}_{1}x}_{2})}{1{{+x}_{1}}^{2}}$,
∵-1<x1<x2<1,
∴x1-x2<0,∴1-x1x2>0,$1+x_1^2>0,1+x_2^2>0$,
∴$\frac{{({x_1}-{x_2})(1-{x_1}{x_2})}}{1+x_1^2}<0$,
所以f(x1)-f(x2)<0,
即f(x1)<f(x2).
∴f(x)在(-1,1)上是增函數.…(12分)

點評 本題考查了函數的奇偶性、單調性問題,考查根據函數單調性的定義證明函數的單調性問題,是一道中檔題.

練習冊系列答案
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