Question

5．雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的左右焦點分別是F₁，F₂，過F2的直線交雙曲線的漸近線于A，B兩點，若F₁A垂直F₂A，且$\overrightarrow{{F_2}B}=3\overrightarrow{A{F_2}}$，則雙曲線的離心率=$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 設過F₂的直線為y=k（x-c），雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，聯立方程組，求得A，B的坐標，運用向量共線的坐標表示和直線垂直的條件，結合雙曲線的a，b，c，和離心率公式，計算即可得到所求．

解答 解：設過F₂的直線為y=k（x-c），
雙曲線的漸近線方程為y=±$\frac{b}{a}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=（x-c）}\\{y=\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$可得A（$\frac{kac}{ka-b}$，$\frac{kbc}{ka-b}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-c）}\\{y=-\frac{b}{a}x}\end{array}\right.$可得B（$\frac{kac}{ka+b}$，-$\frac{kbc}{ka+b}$），
又F₂（c，0），
由且$\overrightarrow{{F_2}B}=3\overrightarrow{A{F_2}}$，可得3（c-$\frac{kac}{ka-b}$）=$\frac{kac}{ka+b}$）-c，
化簡可得ka=-2b，①
又F₁A⊥F₂A，
則$\frac{\frac{kbc}{ka-b}}{\frac{kac}{ka-b}+c}$=-$\frac{1}{k}$，即為kb²=b-2ka，②
由①②消去k，可得5a²=4b²，
由a²-b²=c²，
可得9a²=4c²，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$

點評 本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率的求法，考查向量共線的坐標表示和垂直的條件，屬于中檔題．