Question

10．已知曲線x²+y=8與x軸交于A，B兩點，動點P與A，B連線的斜率之積為$-\frac{1}{2}$．
（1）求動點P的軌跡C的方程．
（2）MN是動點P軌跡C的一條弦，且直線OM，ON的斜率之積為$-\frac{1}{2}$．求$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由已知曲線方程求出A，B的坐標，設P（x，y），結合k_APk_BP=$-\frac{1}{2}$列式求得動點P的軌跡C的方程；
（2）設直線MN的方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），聯立直線方程與橢圓方程，由根與系數的關系結合直線OM，ON的斜率之積為$-\frac{1}{2}$可得m與k的關系，進一步求出$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的范圍得答案．

解答 解：（1）在方程x²+y=8中令y=0得：x=±2$\sqrt{2}$，
∴A（-2$\sqrt{2}$，0），B（2$\sqrt{2}$，0）．
設P（x，y），則k_APk_BP=$\frac{y}{x+2\sqrt{2}}•\frac{y}{x-2\sqrt{2}}=-\frac{1}{2}$，整理得：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
動點P的軌跡C的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設直線MN的方程為y=kx+m，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
聯立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²•$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+km•$\frac{-4km}{1+2{k}^{2}}$+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵k_OMk_ON=-$\frac{1}{2}$，∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}=-\frac{1}{2}$，即$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=-\frac{1}{2}\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
得m²=4k²+2，
∴$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$=x₁x₂+y₁y₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}+\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}=2-\frac{4}{1+2{k}^{2}}$，
∴-2≤$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$＜2，
故$\overrightarrow{OM}•\overrightarrow{ON}$的最小值為-2．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了平面向量數量積的求法，是中檔題．