Question

15．如圖，多面體OABCD，AB=CD=2，AD=BC=$2\sqrt{3}$，AC=BD=$\sqrt{10}$，且OA，OB，OC兩兩垂直，則下列說法正確的是（　　）

• A． 直線OB∥平面ACD
• B． 球面經過點A、B、C、D四點的球的直徑是$\sqrt{13}$
• C． 直線AD與OB所成角是45°
• D． 二面角A-OC-D等于30°

Answer 1

分析 對四個選項分別進行判斷，即可得出結論．

解答 解：對于A，由于OB∥AE，AE和平面ACD相交，則OB和平面ACD相交，故A錯
對于B，球面經過點A、B、C、D兩點的球的直徑即為長方體的對角線長，
即為$\sqrt{1+9+3}$=$\sqrt{13}$，故B對
對于C由于OB∥AE，則∠DAE即為直線AD與OB所成的角，tan∠DAE=$\sqrt{3}$，則∠DAE=60°，故C錯誤；
對于D，因為AO⊥OC，DC⊥OC，所以異面直線CD與OA所成的角大小為二面角A-OC-D的二面角大小，連接OE，則∠AOE為所求，tan∠AOE=$\sqrt{3}$，所以∠AOE=60°；D錯誤．
故選B．

點評 本題考查線面的位置關系的判斷，空間異面直線所成的角，以及多面體的外接球的關系，考查運算能力，屬于中檔題．