Question

16．已知x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，則x+2y的最小值為8；則xy的最小值為8．

Answer 1

分析 x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，變形x+2y=（x+2y）$（\frac{2}{x}+\frac{1}{y}）$=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$，利用基本不等式的性質即可得出．x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，直接利用基本不等式的性質可得xy的最小值．

解答 解：∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，
則x+2y=（x+2y）$（\frac{2}{x}+\frac{1}{y}）$=4+$\frac{4y}{x}$+$\frac{x}{y}$≥4+2$\sqrt{\frac{4y}{x}•\frac{x}{y}}$=8，當且僅當x=2y=4時取等號．
∵x＞0，y＞0，$\frac{2}{x}+\frac{1}{y}=1$，
∴$1≥2\sqrt{\frac{2}{x}•\frac{1}{y}}$，化為：xy≥8，當且僅當x=2y=4時取等號．
∴x+2y的最小值為8；則xy的最小值為8．
故答案為：8，8．

點評 本題考查了基本不等式的性質、方程的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．