Question

11．如圖某幾何體的三視圖是直角邊長為1的三個等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積為（　　）

• A． $\frac{3}{2}π$
• B． $\sqrt{3}π$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}π$
• D． 3π

Answer 1

分析 依題意知，該幾何體為從底面直角頂點出發的三條棱兩兩垂直的三棱錐，可將其補成一個邊長為1的正方體，該幾何體的外接球就是補成的正方體的外接球，從而可得答案．

解答 解：∵該幾何體的三視圖是直角邊長為1的三個等腰直角三角形，
∴該幾何體為從底面直角頂點出發的三條棱兩兩垂直的三棱錐，可將其補成一個邊長為1的正方體，
則該幾何體的外接球就是補成的正方體的外接球，
∵補成的正方體的對角線長l=$\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}{+1}^{2}}$=$\sqrt{3}$為其外接球的直徑d，
∴外接球的表面積S=πd²=3π，
即該幾何體的外接球的表面積為3π，
故選：D．

點評 本題考查由三視圖求幾何體的面積，考查球的表面積公式的應用，將該三棱錐補成一個邊長為1的正方體是關鍵，考查邏輯思維與運算能力，屬于中檔題．