Question

5．已知點A（1，0），B（4，0），圓C：（x-a）²+（y-a）²=1，若圓C上存在點M，使|MB|=2|MA|，則實數a的取值范圍為-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 由圓C上存在點M，使|MB|=2|MA|，得到點M在以D（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，圓C與圓D有公共點，滿足2-1≤CD≤2+1，即可求出a的取值范圍．

解答 解：由C：（x-a）²+（y-a）²=1，得圓心C（a，a），
設M（x，y），
∵|MB|=2|MA|，
∴（x-4）²+y²=4（x-1）²+4y²，
得x²+y²=4．
∴點M在以D（0，0）為圓心，以2為半徑的圓上，
則圓C與圓D有公共點，滿足2-1≤CD≤2+1，
即1≤a²+a²≤3，
解得-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為-$\frac{\sqrt{6}}{2}$≤a≤-$\frac{\sqrt{2}}{2}$或$\frac{\sqrt{2}}{2}$≤a≤$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查圓的標準方程，考查了兩圓間位置關系的應用，體現了數學轉化思想方法，考查不等式組的解法，是中檔題．