Question

6．設函數f（x）=|x-1|-|2x+6|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≤1；
（Ⅱ）?x∈R，f（x）≥|3m-2|，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過討論x的范圍，求出f（x）的分段函數的形式，解不等式，求出各個區間上的x的范圍，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，得到關于m的不等式組，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）當x＜-3時，f（x）=-（x-1）+（2x+6）=x+7；
當-3≤x＜1時，f（x）=-（x-1）-（2x+6）=-3x-5；
當x≥1時，f（x）=（x-1）-（2x+6）=-x-7；
所以$f（x）=\left\{\begin{array}{l}x+7，x＜3\\-3x-5，-3≤x＜1\\-x-7，x≥1.\end{array}\right.$，
當x＜3時，x+7≤1，所以x≤-6；
當-3≤x＜1時，-3x-5≤1，所以-2≤x＜1；
當x≥1時，-x-7≤1，所以x≥1，
綜上所述，不等式f（x）≤1的解集為{x|x≤-6或x≥-2}．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函數f（x）的最大值為4，
因為?x∈R，f（x）≥|3m-2|，所以|3m-2|≤4，所以-4≤3m-2≤4，
所以$-\frac{2}{3}≤m≤2$，
所以m的取值范圍為$[{-\frac{2}{3}，2}]$．

點評 本題考查了解絕對值不等式問題，考查分類討論思想，是一道中檔題．