Question

已知a∈R，函數f（x）=

1

3

x3+(a-2)x2+b，g（x）=4alnx．
（1）若曲線y=f（x）與曲線y=g（x）在它們的交點（1，c）處的切線重合，求a，b的值；
（2）設F（x）=f′（x）-g（x），若對任意的x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，都有F（x₂）-F（x₁）＞2a（x₂-x₁），求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數在最大值、最小值問題中的應用,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的綜合應用

分析：（1）求出函數f（x）=

1

3

x3+(a-2)x2+b，g（x）=4alnx的導數，通過f'（1）=g'（1），求出a．通過c=0．f（1）=0，求出b．
（2）轉化F（x₂）-F（x₁）＞2a（x₂-x₁）為F（x₂）-2ax₂＞F（x₁）-2ax₁，構造h（x）=F（x）-2ax，證明h（x）在（0，+∞）單調遞增即可，得到函數的最值，然后求解a的范圍，

解答： 解：（1）f'（x）=x²+2（a-2）x，f'（1）=2a-3．
g′(x)=

4a

x

，g'（1）=4a
由題意，f'（1）=g'（1），4a=2a-3，a=-

3

2

．
又因為g（1）=0，∴c=0．f（1）=0，得b=

19

6

…（4分）
（2）由 F（x₂）-F（x₁）＞2a（x₂-x₁）可得，F（x₂）-2ax₂＞F（x₁）-2ax₁
令h（x）=F（x）-2ax，只需證h（x）在（0，+∞）單調遞增即可…（8分）
h（x）=F（x）-2ax=x²+2（a-2）x-4alnx-2ax=x²-4x-4alnx
h′(x)=

2x2-4x-4a

x

只需說明h′(x)=

2x2-4x-4a

x

≥0在（0，+∞）恒成立即可…（10分）
即4a≤-2x²+4x，a≤-

1

2

(x-1)2+

1

2

故，a≤-

1

2

…（12分）
（如果考生將

f(x1)-f(x2)

x1-x2

視為斜率，利用數形結合得到正確結果的，則總得分不超過8分）

點評：本題看常數的導數的應用，函數的最值，以及構造法的應用，考查轉化思想以及計算能力．