Question

已知函數f（x）（x∈R）滿足：對于任意實數x，y，都有f（x+y）=f（x）+f（y）+

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恒成立，且當x＞0時，f（x）＞-

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恒成立．
（1）求f（0）的值，并列舉滿足題設條件的一個具體函數；
（2）判斷函數f（x）在R上的單調性，并加以證明．

Answer 1

考點：抽象函數及其應用,函數恒成立問題

專題：計算題,證明題,函數的性質及應用

分析：（1）令y=0得，f（x）=f（x）+f（0）+

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，從而求f（0），從而由恒成立猜函數的可能；
（2）先判斷函數的單調性，再由定義法證明．

解答： 解：（1）令y=0得，
f（x）=f（x）+f（0）+

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；
故f（0）=-

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；
由f（x+y）=f（x）+f（y）+

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知，
f（x）=x-

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即是滿足題設條件的一個具體函數；
（2）f（x）在R上單調遞增，證明如下，
令x+y=0得，f（0）=f（x）+f（-x）+

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，
-f（x）=f（-x）+1，
任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則
f（x₂）-f（x₁）=f（x₂）+f（-x₁）+1
=f（x₂-x₁）+

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，
∵x₂-x₁＞0，
∴f（x₂-x₁）+

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＞0；
故f（x₂）-f（x₁）＞0；
故f（x）在R上單調遞增．

點評：本題考查了函數的性質與應用，同時考查了函數的單調性的證明，屬于中檔題．