Question

已知函數f（x）=ax²-|x-a|．
（1）當a=3時，求不等式f（x）＞7的解集；
（2）當a＞0時，求函數f（x）在區間[0，+∞）上的最小值．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法,函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,分類討論,函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：（1）當a=3時，求不等式即3x²-|x-3|＞7，運用絕對值的定義，可得不等式組，分別解出它們，再求并集即可；
（2）根據絕對值的定義得到分段函數，分當0＜a≤

2

4

時，

2

4

＜a≤

1

2

時，當

1

2

＜a≤

2

2

時，當a≥

2

2

時，四種情況，分別根據函數f（x）的單調性求得函數的最小值，綜合可得結論．

解答： 解：（1）當a=3時，不等式f（x）＞7，
即 3x²-|x-3|＞7，
∴①

x≥3 3x2-x+3＞7

，或②

x＜3 3x2+x-3＞7

．
解①求得x≥3，解②求得x＜-2，或

5

3

＜x＜3．
綜上，不等式的解集為{x|x＜-2，或x＞

5

3

}．
（2）由于a＞0時，函數f（x）=ax²-|x-a|=

ax2-x+a，x≥a ax2+x-a，x＜a

，
當x≥a時，f（x）=a（x-

1

2a

）²+a-

1

4a

，
當x＜a時，f（x）=a（x+

1

2a

）²-a-

1

4a

．
當0＜a＜

2

2

時，a＜

1

2a

，f（x）在x≥a上的最小值為a-

1

4a

，
而f（x）在0＜x＜a上遞增，f（0）取得最小，且為-a，
①當0＜a≤

2

4

時，a-

1

4a

≤-a，則有f（x）在[0，+∞）上的最小值為a-

1

4a

；
②

2

4

＜a≤

1

2

時，a-

1

4a

＞-a，則f（x）在[0，+∞）上的最小值為-a；
③當

1

2

＜a≤

2

2

時，a-

1

4a

＞0，則f（x）在[0，+∞）上的最小值為-a．
當a≥

2

2

時，a＞

1

2a

，f（x）在x≥a上遞增，f（a）最小，且為a³＞0，
而在0≤x＜a時，f（x）遞增，則有f（0）取得最小，且為-a＜0，
則函數f（x）在區間[0，+∞）上的最小值為-a；
綜上可得，當0＜a≤

2

4

時，f（x）在[0，+∞）上的最小值為a-

1

4a

；
當a＞

2

4

時，f（x）在[0，+∞）上的最小值為-a．

點評：本題主要考查絕對值的函數的性質，絕對值不等式的解法，二次函數的圖象和性質，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．