Question

若x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義

專題：計算題,函數的性質及應用

分析：由韋達定理可得

x1+x2=m x1x2=-2

，從而可得|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；從而可得|x₁-x₂|_max=3，從而化恒成立問題為a²-5a-3≥3，從而解得．

解答： 解：∵x₁和x₂是方程x²-mx-2=0的兩個實根，
∴

x1+x2=m x1x2=-2

；
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

m2+8

；
∴當m∈[-1，1]時，|x₁-x₂|_max=3；
故不等式a²-5a-3≥|x₁-x₂|對任意實數m∈[-1，1]恒成立可化為
a²-5a-3≥3；
解得a≥6或a≤-1．
故答案為：a≥6或a≤-1．

點評：本題考查了函數的性質應用及恒成立問題化為函數的最值問題處理的應用，屬于中檔題．