Question

下列命題正確的是（　　）：
①“2＜x＜6”是“x²-4x-12＜0”的必要不充分條件
②函數(shù)f（x）=tan2x的對稱中心是（

kπ

2

，0）（k∈Z）
③“?x∈R，x³-x²+1≤0”的否定是“?x∈R，x³-x²+1＞0”；
④設常數(shù)a使方程sinx+

3

cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個解x₁，x₂，x₃則x₁+x₂+x₃=

7π

3

．

• A、①③
• B、②③
• C、②④
• D、③④

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：簡易邏輯

分析：①由x²-4x-12＜0，解得-2＜x＜6，可得“2＜x＜6”是“x²-4x-12＜0”的充分不必要條件；
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=

kπ

2

，（k∈Z），即可得出函數(shù)f（x）=tan2x的對稱中心；
③取x=-1，則x³-x²+1=-1＜0，即可判斷出；
④sinx+

3

cosx=a化為sin(x+

π

3

)=

a

2

，由于常數(shù)a使方程sinx+

3

cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個解x₁，x₂，x₃，則

a

2

=

3

2

，解得即可．

解答： 解：①由x²-4x-12＜0，解得-2＜x＜6，因此“2＜x＜6”是“x²-4x-12＜0”的充分不必要條件，不正確；
②由tan2x=0，解得2x=kπ，即x=

kπ

2

，（k∈Z）因此函數(shù)f（x）=tan2x的對稱中心是（

kπ

2

，0）（k∈Z），正確；
③取x=-1，則x³-x²+1=-1＜0，因此“?x∈R，x³-x²+1＞0”不正確；
④sinx+

3

cosx=a化為sin(x+

π

3

)=

a

2

，由于常數(shù)a使方程sinx+

3

cosx=a在閉區(qū)間[0，2π]上恰有三個解x₁，x₂，x₃，
則

a

2

=

3

2

，解得x+

π

3

=

π

3

，π-

π

3

，2π+

π

3

，
∴x₁+x₂+x₃=

7π

3

，正確．
綜上可得：只有②④正確．
故選：C．

點評：本題考查了簡易邏輯的判斷、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．