Question

13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosB=（3c-b）cosA．
（1）若asinB=2$\sqrt{2}$，求b；
（2）若a=2$\sqrt{2}$，且△ABC的面積為$\sqrt{2}$，求b+c的周長．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理化簡已知等式，利用兩角和與差的正弦函數公式及誘導公式化簡，根據sinC不為0求出cosA的值，進而利用同角三角函數基本關系式可求sinA的值．
（2）由已知利用三角形面積公式可求bc=3，利用余弦定理即可求得b²+c²=6，進而可求b+c的值．

解答 解：（1）在△ABC中，由acosB=（3c-b）cosA及正弦定理得（3sinC-sinB）cosA=sinAcosB，
得3sinCcosA=sinAcosB+cosAsinB=sin（A+B），
∵A+B+C=π，
∴sin（A+B）=sinC≠0，
∴cosA=$\frac{1}{3}$，
∴sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$．
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{sinB}$①
∵asinB=2$\sqrt{2}$，②
聯立①②，得
b=$\frac{2\sqrt{2}}{sinA}$=$\frac{2\sqrt{2}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$=3；
（2）∵△ABC的面積為$\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×bc×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
∴解得：bc=3．
∵cosA=$\frac{1}{3}$，a=2$\sqrt{2}$，利用余弦定理可得：8=b²+c²-2×bc×$\frac{1}{3}$=b²+c²-2，可得：b²+c²=10，
∴b+c=$\sqrt{（b+c）^{2}}$=$\sqrt{^{2}+{c}^{2}+2bc}$=$\sqrt{6+2×3}$=2$\sqrt{3}$．

點評 此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦函數公式，誘導公式，余弦定理，三角形面積公式以及特殊角的三角函數值，熟練掌握相關定理及公式是解本題的關鍵，屬于中檔題．