Question

8．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+2，x＞a\\ x{\;}^{2}+5x+2，x≤a\end{array}$函數(shù)g（x）=f（x）-2x恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a 的取值范圍是[2，+∞）．

Answer 1

分析 化簡(jiǎn)g（x）=f（x）-2x，而方程-x+2=0的解為2，方程x²+3x+2=0的解為-1，-2；推出a的不等式組，從而可得答案．

解答 解：∵f（x）=$\left\{\begin{array}{l}x+2，x＞a\\ x{\;}^{2}+5x+2，x≤a\end{array}$，
∴g（x）=f（x）-2x=$\left\{\begin{array}{l}{-x+2，x＞a}\\{{x}^{2}+3x+2，x≤a}\end{array}\right.$，
而方程-x+2=0的解為2，方程x²+3x+2=0的解為-1，-2；
若函數(shù)g（x）=f（x）-2x恰有2個(gè)不同的零點(diǎn)，
a＜2時(shí)，由函數(shù)的圖象可知：函數(shù)的零點(diǎn)有3個(gè)，當(dāng)a∈[2，+∞）時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)有2個(gè)．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[2，+∞）．
故答案為：[2，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了分段函數(shù)的化簡(jiǎn)與函數(shù)零點(diǎn)的判斷，屬于中檔題．