Question

20．已知函數f（x）是定義在R上的偶函數，且當x≤0時，f（x）=x²+2x．
（I）求函數f（x）的解析式
（II）現已畫出函數f（x）在y軸左側的圖象，如圖所示，請補出完整函數f（x）的圖象，并根據圖象寫出函數f（x）的單調區間和值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用函數的奇偶性，結合已知條件，求解函數的解析式即可．
（Ⅱ）畫出函數的圖象，利用函數的圖象，求解函數的單調區間與函數的值域即可．

解答 解：（Ⅰ）當x＞0時，-x＜0∴f（-x）=（-x）²-2x=x²-2x
又∵函數f（x）是定義在R上的偶函數∴f（x）=x²-2x
∴$f（x）=\left\{{\begin{array}{l}{{x^2}+2x，（x≤0）}\\{{x^2}-2x，（x＞0）}\end{array}}\right.$；
（Ⅱ）如圖所示

由圖象知函數f（x）的增區間為（-1，0）和（1，+∞）；減區間為（-∞，-1）和（0，1）
函數f（x）的值域為[-1，+∞）．

點評 本題考查函數的圖象與函數的解析式的求法，函數的值域與函數的單調性的判斷，考查計算能力．