Question

11．已知命題p：直線y=kx+3與圓x²+y²=1相交于不同的兩點A，B；命題q：曲線$\frac{{x}^{2}}{k-6}$-$\frac{{y}^{2}}{k}$=1表示焦點在x軸上的雙曲線；
（1）若命題p為真命題，求實數k的取值范圍；
（2）若命題q為真命題，求實數k的取值范圍；
（3）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）若命題p為真命題，則直線與圓相交，即圓心（0，0）到直線的距離小于半徑，則$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜1，解得答案；
（2）若命題q為真命題，則k-6＞0，且k＞0，解得答案；
（3）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，則命題p，q一真一假，進而得到答案．

解答 解：（1）若命題p為真命題，
則直線與圓相交，即圓心（0，0）到直線的距離小于半徑，
則$\frac{3}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$＜1，
解得：k∈（-∞，-2$\sqrt{2}$）∪（2$\sqrt{2}$，+∞），
（2）若命題q為真命題，則k-6＞0，且k＞0，
解得：k∈（6，+∞），
（3）若p∨q為真命題，p∧q為假命題，
則命題p，q一真一假，
p真q假時，k∈（-∞，-2$\sqrt{2}$）∪（2$\sqrt{2}$，6]，
p假q真時，不存在滿足條件的k值，
綜上可得：k∈（-∞，-2$\sqrt{2}$）∪（2$\sqrt{2}$，6]

點評 本題以命題的真假判斷與應用為載體，考查了直線與圓的位置關系，雙曲線的定義，難度中檔．