Question

18．如圖，AC₁是正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的對角線．
（1）求證：平面A₁BD∥平面CD₁B₁；
（2）求證：直線AC₁⊥直線BD．

Answer 1

分析 （1）推導出A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，A₁B∩A₁D=A₁，由此能證明平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
（2）連接AC，推導出AC⊥BD，C₁C⊥BD，從而直線BD⊥平面ACC₁，由此能證明直線AC₁⊥直線BD．

解答 證明：（1）在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵A₁B∥D₁C，A₁D∥B₁C，A₁B∩A₁D=A₁，
A₁B，A₁D?平面A₁BD，D₁C，B₁C?平面CD₁B₁，
∴平面A₁BD∥平面CD₁B₁．
（2）連接AC，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
AC⊥BD，
∴C₁C⊥平面ABCD，
∵BD?平面ABCD，
∴C₁C⊥BD，
∵AC⊥BD，C₁C⊥BD，AC∩C₁C=C，
∴直線BD⊥平面ACC₁，
又AC₁?平面ACC₁，
∴直線AC₁⊥直線BD．

點評 本題考查線面平行的證明，考百線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．