Question

如圖，已知正方體的棱長為2，E、F分別是、的中點，過、E、F作平面交于G．

(l)求證：EG∥；

(2)求二面角的余弦值；

(3)求正方體被平面所截得的幾何體的體積．

 

 

Answer 1

(1)詳見試題解析(2) (3)

【解析】

試題分析：（1）兩平行平面都與第三個平面相交，則交線平行；

（2）以為原點分別以為軸，建立空間直角坐標系，平面的法向量為，求出平面的法向量，利用空間向量的夾角公式求二面角的余弦值．

（3）所求幾何體是由正方體截去一個三棱臺而得到， 所以，．

（1）證明：在正方體中，因為平面平面,

平面平面平面平面

（2）【解析】
如圖，以為原點分別以為軸，建立空間直角坐標系，

則有

設平面的法向量為則由和得

取得

又平面的法向量為

故

所以截面與底面所成二面角的余弦值為

（3）【解析】
設所截幾何體的體積為

與相似，

故

考點：1、平面與平面平行的性質；2、空間直角坐標系；3、向量夾角公式；4、組合體的體積．