Question

13．已知函數(shù)f（x）=x²+2（a-1）x+2，x∈[-2，4]．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求f（x）的最大值與最小值；
（2）在區(qū)間[-2，4]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用開口方向和對稱軸判斷f（x）的單調(diào)性，根據(jù)f（x）的單調(diào)性和對稱性計(jì)算f（x）的最值；
（2）根據(jù)單調(diào)性得出對稱軸與區(qū)間端點(diǎn)值的關(guān)系，從而解出a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x²+2x+2，
f（x）的對稱軸為直線x=-1，
∴函數(shù)f（x）在[-2，-1]上為減函數(shù)，在[-1，4]上為增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（-1）=1，f（x）_max=f（4）=26．
（2）∵f（x）=x²+2（a-1）x+2的對稱軸是直線x=1-a，
又f（x）在[-2，4]上是單調(diào)函數(shù)，
∴1-a≥4或1-a≤-2，
∴a≤-3或a≥3，
∴a的取值范圍為{a|a≤-3或a≥3}．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性與對稱軸的關(guān)系，屬于中檔題．