Question

11．已知數列{a_n}是非常值數列，且滿足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），其前n項和為s_n，若s₅=70，a₂，a₇，a₂₂成等比數列．
（ I）求數列{a_n}的通項公式；
（ II）設數列$\left\{{\frac{1}{s_n}}\right\}$的前n項和為T_n，求證：$\frac{1}{6}≤{T_n}＜\frac{3}{8}$．

Answer 1

分析 （ I）通過a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），判斷{a_n}是等差數列，利用s₅=70，a₂，a₇，a₂₂成等比數列求解數列的首項與公差，然后求解通項公式．
（ II）求出${s_n}=2{n^2}+4n$，化簡它的倒數，利用裂項消項法求解數列的和，利用數列的單調性證明不等式．

解答 （本小題滿分12分）
解：（ I）因為數列滿足a_n+2=2a_n+1-a_n（n∈N^*），所以{a_n}是等差數列且s₅=70，
∴5a₁+10d=70．①…（1分）
∵a₂，a₇，a₂₂成等比數列，∴$a_7^2={a_2}{a_{22}}$，
即${（{a_1}+6d）^2}=（{a_1}+d）（{a_1}+21d）$．②…（3分）
由①，②解得a₁=6，d=4或a₁=14，d=0（舍去），…（4分）
∴a_n=4n+2．…（5分）
（ II）證明：由（ I）可得${s_n}=2{n^2}+4n$，
所以$\frac{1}{s_n}=\frac{1}{{2{n^2}+4n}}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．…（6分）
所以${T_n}=\frac{1}{s_1}+\frac{1}{s_2}+\frac{1}{s_3}+…+\frac{1}{{{s_{n-1}}}}+\frac{1}{s_n}$=$\frac{1}{4}（\frac{1}{1}-\frac{1}{3}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）+…+\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）+\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$
=$\frac{3}{8}-\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）$．…（8分）
∵${T_n}-\frac{3}{8}=-\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}）＜0$，∴${T_n}＜\frac{3}{8}$．…（10分）
∵${T_{n+1}}-{T_n}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+3}）＞0$，∴數列{T_n}是遞增數列，∴${T_n}≥{T_1}=\frac{1}{6}$．…（11分）
∴$\frac{1}{6}≤{T_n}＜\frac{3}{8}$．…（12分）

點評 本題考查數列的應用，通項公式的求法，裂項消項法的應用，數列的單調性的應用，是中檔題．