Question

20．若方程lg2x•lg3x+a²=0有兩個不相等的實數根，求實數a的取值范圍．并求方程的兩個根之積．

Answer 1

分析 先換元，再根據判別式和及韋達定理求解即可．

解答 解：lg2x•lg3x+a²=0，即（lg2+lgx）（lg3+lgx）+a²=0
令t=lgx，
則方程變換成（t+lg2）（t+lg3）+a²=t²+tlg6+lg2lg3+a²=0，
∴△=（lg6）²-4（lg2lg3+a²）＞0，
即（lg3-lg2）²＞4a²，
∴$\frac{lg2-lg3}{2}$＜a＜$\frac{lg3-lg2}{2}$
∴t₁+t₂=-lg6=lgx₁+lgx₂=lgx₁•x₂，
∴x₁•x₂=$\frac{1}{6}$

點評 本題考查對數的運算法則的應用，基本知識的考查．