Question

10．（1）設0＜x＜$\frac{3}{2}$，求函數y=x（2-x）的最大值
（2）已知x＞3，求y=x+$\frac{4}{x-3}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由0＜x＜$\frac{3}{2}$，可得2-x＞0，可得函數y=x（2-x）≤$（\frac{x+2-x}{2}）^{2}$，即可得出．
（2）由x＞3，可得x-3＞0．可得y=x+$\frac{4}{x-3}$=x-3+$\frac{4}{x-3}$+3，利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：（1）∵0＜x＜$\frac{3}{2}$，∴2-x＞0，
∴函數y=x（2-x）≤$（\frac{x+2-x}{2}）^{2}$=1，當且僅當x=1時取等號．
當且僅當x=2-x時取等號，既x=1時，y的最大值為1，
（2）∵x＞3，∴x-3＞0．
∴y=x+$\frac{4}{x-3}$=x-3+$\frac{4}{x-3}$+3≥2$\sqrt{（x-3）•\frac{4}{x-3}}$+3=7．當且僅當x=5時取等號．
y的最小值為7．

點評 本題考查了基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．